Integrales

Mié, 06/13/2007 - 20:16 by cyfuss Tags:

Inmediatas

$\int x^n\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\int a^u \cdot u' {\cdot} Ln (a') dx = a^{u} + C$
$\int e^u \cdot u' dx = e^{u} + C$
$\int sen\ u \cdot u' \cdot dx =-cos\ u + C$
$\int cos\ u\cdot u'\cdot dx = sen\ u + C$
$\int tg\ u\ {\cdot}\ {u'}{\cdot}\ dx =\ - Ln\ |cos\ u| + C$
$\int cotg\ u\ {\cdot}\ u'\ dx=\ Ln\ |sen\ u|\ + C$
$\int \frac{u'}{u}dx=Ln|u|+C$
$\int \frac{u'}{2\sqrt u} dx=\sqrt{u}+C$
$\int \frac{u'}{\sqrt{(1-u)^2}} dx = Arcsen\ u\ +\ C$
$\int \frac{u'}{{1+u}^2}dx = Arctg\ u\ +\ C$
$\int sec^2 u {\cdot}u'{\cdot}\ dx=\int \frac{u'}{cos^2 u}dx =\int (1\ +\ tg^2 u) {\cdot}u' dx =tg\ u\ +\ C$
$\int cosec^2 u{\cdot}u'\ dx=\int \frac{u'}{sen^2 u} dx =\int (1+cotg^2 u){\cdot}u'=\ -\ cotg\ u\ +\ C$

propiedades

Descomposicion
$\int f(x)dx=\int f_{{1}}(x)dx+\int f_{{2}}(x)dx+\int f_{{3}}(x)dx+...+\int f_{{n}}(x)dx$

Sustitucion ó Cambio de Variables

$\int f(x) \cdot dx$
$u\ x = t$
$u'\ x\ dx = dt$

Partes
$\int u {\cdot} dv= u {\cdot}v - \int v {\cdot}du$

Trigonometricas

del tipo: ó
- n = impar
  
  $cos x = t$
  
  $-sen x = dt$
  
  n = par; debemos tener en cuenta las relaciones trigonometricas
del tipo:
- n = impar ; m = impar :: Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas
- n = par ; m = par :: Se expresa en función del ángulo doble (cos 2x; sen 2x)
del tipo: ó
- $tg^2 x = sec^2 (x)\ -\ 1$
- $cotg^2 x = cosec^2 (x) - 1$
del tipo:
- m = impar :: t = sec x
- n = par :: t = tg x
- m = par, n = impar :: Potencias de la secante
del tipo: ó ó
- Utilizando las fórmulas que transforman productos de senos y cosenos en sumas y diferencias.

Racionales
$\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx$

grado de P(x) Q(x)
- P(x) > Q(x) $\Rightarrow$ Divides
- P(x) = Q(x) $\Rightarrow$ Divides
$\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx=\int C(x) dx+\int \frac{R(x)}{Q(x)}$
grado Q(x) < P(x)}
- Buscamos el Logaritmo Neperiano
grado Q(x) > P(x) [Descomposición en fracciones simples]
- Q(x) tiene raíces reales
  
  $\frac {P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}= \frac{P(x)}{Q(x)}$
- Q(x) tiene raíces reales y raíces imaginarias
  
  $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Mx-N}{(x-b)^2} = \frac{P(x)}{Q(x)}$
- Q(x) no tiene raíces reales :: Buscamos Artg (x) o Arcsen (x)
- Q(x) tiene raíces imaginarias múltiples: Método Hermite-Ostrogradsky
  
  $\int \frac {P(x)}{Q(x)} = \frac {M_1(x)}{Q_1(x)} + \int \frac {M_2(x)}{Q_2(x)}dx$
  
  $\frac {P(x)}{Q(x)} = \frac {d}{dx} \frac {M_1(x)}{Q_1(x)} + \frac {M_2(x)}{Q_2(x)}$

Exponenciales y Logarítmicas racionales

Trigonométricas Racionales

tipo:
- R(sen x, -cos x) $\Rightarrow$ -R (sen x, cos x)
  
  t = sen x
- R(-sen x, cos x) $\Rightarrow$ -R (sen x, cos x)
  
  t = cos x
- R(-sen x, -cos x) $\Rightarrow$ R(sen x, cos x)
  
  t = tg x
tipo: $\int R(x,arctg\ x)$

Arctg x= t
tipo: $\int R(x, arcsen\ x)$

Arcsen x = t
tipo: $\int R(x, arccos\ x)$

Arccos x = t

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