Introducción
Vamos a utilizar grafos. Las principales aplicaciones de los grafos son los árboles, las redes y la aplicación a proyectos secuenciales

PERT, es una de las aplicaciones de la teoría de grafos que mas se usa en el campo económico-empresarial, dándole su importancia y su multiplicidad de aplicaciones de los grafos en el campo de la economía de empresa.

El PERT: idea y utilidad
PERT: Program Evaluation and Review Technique (Técnica de valoración y análisis de proyectos)

Este método fue elaborado por el ejercito de los EEUU con motivo del proyecto POLARIS. Dada la complejidad del proyecto, la multiplicidad de trabajos de diferente contenido que implicaba y la necesidad de cooperación entre diferentes compañías y equipos de personas, se pensó en una técnica de seguimiento, organización y control de trabajo
Puede definirse PERT como la técnica basada en la teoría de grafos, que se aplica al control de proyectos con el objeto de optimizar su ejecución

Se trataba de analizar las actividades a las que da lugar un proyecto, con el objeto de analizar sus interdependencias, tiempos probables de duración y circulación de los factores que se emplean en dicho proyecto

Tiene 3 principales finalidades:

• Calcula el tiempo de duración de la ejecución de un proyecto y as actividades que lo integran
  • A este calculo se le llama búsqueda del camino critico “PERT- Tiempo”.
  • Cuando se trabaja en base a probabilidades estamos con el “PERT-Incertidumbre”
• Búsqueda de la utilización optima de los recursos empleados y el estudio de la incorporación de posibles nuevos recursos en este caso se trabaja con costes y su nombre es “PERT- Costes”
• La aplicación mas importante del PERT esta constituida por su aplicación al seguimiento y control de proyectos

Las aplicaciones del método PERT son infinitas en los mas diversos campo, y su empleo es cada día mayor.

Planteamiento del problema
Vamos a utilizar el método PERT para optimizar un proyecto de constitución

Hay unas tareas a realizar por una parte y por otra tendremos unas dependencias o condicionamientos entre todas las tareas.

Las dependencias o restricciones pueden ser de tipo físico como técnico como de tipo jurídico o económico

Como consecuencia de las actividades, se llega a una serie de sucesos o situaciones (Nudos o vértices) que indican la posibilidad de llevar a cabo nuevas tareas

De esta puede construirse el grafo PERT de proyecto, para después, utilizar los distintos algoritmos para tomas las decisiones

Fases para construir el grafo PERT

• Determinación de las actividades
• Estudio de las dependencias o restricciones y construcción de los grafos parciales
• Agrupación de los grafos parciales y determinación del momento inicial y final del proyecto
• Construcción de la red

Una vez representado el proyecto en cuestión se asigna los tiempo a las actividades

La asignación puede hacerse:

• De un modo deterministico: Se asignan unos tiempos de duración que son aproximación a la realidad
• De un modo estocástico o aleatorio: Se considera la duración de la actividad como una variables aleatoria con una determinada función de distribución

En el caso de carecer de información mas exacta se procede así:

• Se calculas los tiempos mínimo, máximo y tiempo normal de ejecución de cada actividad y calculamos la duración de cada actividad en estas situaciones
• Partiendo de los 3 tiempos anteriores se calcula la media ponderara a la que denominamos “Tiempo-PERT”
• Una vez asignados los tiempos de duración de las diferentes actividades, toca ver la duración total de la ejecución del proyecto y se cumple el siguiente teorema: “El tiempo necesario y suficiente para que se cumpla un suceso es igual a la longitud generalizada (a la suma de los tiempos asociados a los arcos del camino) del camino mas largo que va desde el suceso inicial hasta el suceso de que se trate”
• Al recorrido mas largo se le denomina camino critico y esta constituido por todas aquellas actividades del proyecto que deben ejecutarse sin intermitencia, de forma que cualquier retardo de estas retrase el fin del proyecto.
• El análisis de los tiempos sobrantes se hace necesaria para planificar la utilización de los recursos.
• Las reglas a observar en la construcción del grafo son:
  • Principio de designación univoca de las actividades: Cada actividad debe ser expresada de forma clara y diferenciada en el grafo
  • Principio de Secuencias univocas: El proyecto debe estar fielmente representado en el grafo
  • Principio de designación sucesiva de las actividades: A efectos de calculo, los nudos deberán ser numerados correlativamente de izquierda a derecha y de arriba abajo.
  • Principio del estado inicial y final: Aunque existan diferentes comienzos y finales del proyecto, a efectos de calculo deben hacerse coincidir en un solo nudo.

Holguras
A las actividades que están en el camino critico se les denomina actividades criticas

Estas actividades criticas tienen la característica de que cualquier retraso en su ejecución implica necesariamente un retraso en la finalización del proyecto

A los 'tiempo sobrantes' debido a los retrasos de las actividades de proyecto le damos el nombre de holguras
Para entender este concepto vamos a introducir el concepto de tiempo early y tiempo last

Tiempo Early (Ei), es el momento en el que la situación se alcanzara pronto

Tiempo Last (Li), el momento mas tardío en el que se pueda llegar a un acontecimiento.

En los nudos que forman el camino critico no puede existir diferencia entre el tiempo early y el tiempo last

Debe haber un margen de flexibilidad, debido a las holguras, en la realización de ciertas actividades

Clasificación de holguras:

• Holgura total: Se denomina holgura total o tiempo de fluctuación de una actividad al máximo tiempo sobrante posible, entre 2 nudos, supuesta la realización de la actividad existente entre ambos.
  
  
• Holgura libre: Implica colocarnos es una posición menos optimista, pues supone que la llegada y salida de cada nudo se hace lo mas pronto posible, por lo que el máximo tiempo sobrante será:
  
  
• Holgura independiente: Esto implica ponerse en la posición mas pésima. Suponemos que llegados al nudo de partida en el momento mas tardío y debemos de partir del nudo de termino en el momento mas temprano
  
  

Se entiendo por tiempo de oscilación de un nudo la diferencia entre sus tiempos early y last.

Algoritmos de resolución 370
Hay 2 problemas a resolver en base al grafo PERT

• Se debe calcular los tiempos early y last de cada nudo
• Se calculan las holguras de todas las actividades en base a los tiempos early y last ya calculados

Cálculo de los tiempos early

• Para calcular los tiempo early debemos crear una tabla con los siguientes datos:
  

  Nudo de termino j	Nudo de partida i	Actividad ij	Duracion de la actividad Dij	Tiempos parciales del nudo Ei+ Dij	Tiempo early del nudo Ei
  1
  2

• Según vayamos avanzando veremos como cada nudo viene precedido por una serie de caminos parciales de distintas duraciones
• El tiempo early de cada nudo vendrá constituido por el mas largo de los caminos parciales que a el lleguen, ya que es preciso que se hayan realizado todas las actividades que al mismo llegan

Cálculo de los tiempos last

• Se parte del nudo de termino, cuyo tiempo Last se conoce por coincidir con el tiempo early (ya que es necesariamente en el camino critico)
• Se estudian los caminos que del nudo en cuestión salen y el tiempo necesario para su realización, viniendo el tiempo last del nudo antedicho, definido por le mas corto de los caminos que de el parte.
• Los resultados de las tablas de tiempos early y Last nos determinaran que nudos constituyen el camino critico, pues en ellos coincidirán el tiempo early y el tiempo Last.

Cálculo de las holguras

• Esta tabla nos permite conocer las posibilidades de desplazar nuestros recursos de forma optima mediante los empleos de tiempo sobrante y el desplazamiento de la realización de las actividades en el momento mas adecuado.

VER EJEMPLO DE LA PAGINA 392

El pert-incertidumbre
Supuesto que los tiempos PERT se han calculado basándose a un promedio ponderado, es sencillo calcular la probabilidad de terminar en un determinado numero de días o saber los días para terminar un proyecto

El procedimiento consiste en considerar una variable aleatoria de media igual al camino critico, y de varianza igual a la suma de las actividades del camino critico, que epor el teorema central del limite, tiene a una distribución normal de características especificas

Puede calcularse la probabilidad de cualquier suceso, ya que la distribución normal esta tabulada, conociéndose su función de densidad

El pert-coste
Otra aplicación es la reducción de los costes del proyecto

Se asignan costes a cada actividad del proyecto. La existencia de holguras posibilita el emplear recursos inactivos a la reducción del camino critico y el mejor empleo de los recursos en cada momento.