Resumen de Analisis Matematico

Este es un resumen que me hice para recordar todas las formas de resolver las integrales y los limites.

Este resumen me vino muy bien para aprobar selectividad y para la carrera.

Funciones Reales de Variable Real

Operaciones Funciones

Producto : $(kf) {\cdot} (x) = k{\cdot} f(x)$
Suma : $(f+g) {\cdot} (x) = f(x) + g(x)$
Cociente : $(\frac{f}{g}){\cdot}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
Producto : $(fg)(x)=(fx) {\cdot} g(x)$
Composicion : $(f\ _o\ g)(x)=f[g(x)]$

Propiedades Logaritmicas:
$Ln (A) + Ln (B) = Ln (A {\cdot} B)$
$Ln (A) - Ln (B) = Ln (\frac{A}{B})$
$Ln (A)^B = B {\cdot} Ln (A)$

Valores Logaritmicos
$ln\ (\infty)=\ \infty$
$ln\ (e)=\ 1$
$ln\ (1)=\ 0$
$ln\ (0)=\ \infty$

$e^{\infty}\ = \infty$
$e^1\ =\ e$
$e^0\ =\ 1$
$e^{-\infty}\ =\ 0$

Maximo y Minimos
Reglas Generales para resolver los ejercicios de Maximos y Minimos

Con los datos del problema se halla la función cuyo máximo o mínimo es objeto de estudio
Si esta función contiene mas de una variable, se transforma en otra que contenga solo una, mediante una ecuación de relación entre ellas.
Se halla los máximos y mínimos de esta función

LIMITES
Propiedades:
$\underset{x\rightarrow a}{Lim}f(x)=l_{1}$

$\underset{x\rightarrow a}{Lim}g(x)=l_{2}$

cumple
$\underset{x\rightarrow a}{Lim}[f(x)\pm g(x)]=l_{1}\pm l_{2}$

$\underset{x\rightarrow a}{Lim}[f(x){\cdot}g(x)]=l_{1}{\cdot}l_{2}$

$\underset{x\rightarrow a}{Lim}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{l_{1}}{l_{2}}$
$\underset{x\rightarrow a}{Lim}[f(x)]^{g(x)}=(l_{1})^{l_{2}}$

Asintotas

Horizontal
$\underset{x\rightarrow \pm \infty }{Lim}f(x)=k$
Vertical
$\underset{x\rightarrow a}{Lim}{f(x)=\pm \infty$
Oblicua (y = mx + n)
$m=\underset{x\rightarrow +\infty}{Lim}\ \frac{f(x)}{x}$
$n=\underset{x\rightarrow +\infty}Lim{[f(x)-mx]}$

CONTINUIDAD
${\underset{{x\rightarrow a^{{-{}}}}}{{{{Lim}}}{f(a)}}=\underset{x\rightarrow a^{{+{}}}}{{{{Lim}}}}{f(a)}}$

Operaciones (sin dejar de ser continua)
$f(x)\pm g(x)$
$\frac{f(x)}{g(x)}$
$f(x){\cdot}g(x)$
$f(x)^{g(x)}$

DERIVABILIDAD
$f'(a^{-{}})=f'(a^{+{}})$

en cualquier punto de la funcion
$\underset{h\rightarrow 0}{Lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
en un punto concreto
$\underset{h\rightarrow 0}{Lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Integrales

Inmediatas

$\int x^n\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\int a^u \cdot u' {\cdot} Ln (a') dx = a^{u} + C$
$\int e^u \cdot u' dx = e^{u} + C$
$\int sen\ u \cdot u' \cdot dx =-cos\ u + C$
$\int cos\ u\cdot u'\cdot dx = sen\ u + C$
$\int tg\ u\ {\cdot}\ {u'}{\cdot}\ dx =\ - Ln\ |cos\ u| + C$
$\int cotg\ u\ {\cdot}\ u'\ dx=\ Ln\ |sen\ u|\ + C$
$\int \frac{u'}{u}dx=Ln|u|+C$
$\int \frac{u'}{2\sqrt u} dx=\sqrt{u}+C$
$\int \frac{u'}{\sqrt{(1-u)^2}} dx = Arcsen\ u\ +\ C$
$\int \frac{u'}{{1+u}^2}dx = Arctg\ u\ +\ C$
$\int sec^2 u {\cdot}u'{\cdot}\ dx=\int \frac{u'}{cos^2 u}dx =\int (1\ +\ tg^2 u) {\cdot}u' dx =tg\ u\ +\ C$
$\int cosec^2 u{\cdot}u'\ dx=\int \frac{u'}{sen^2 u} dx =\int (1+cotg^2 u){\cdot}u'=\ -\ cotg\ u\ +\ C$

propiedades

$\int [f(x)\pm g(x)] dx= \int f(x) dx \pm \int g(x)dx$
$\int k {\cdot}f(x)} dx= k \int f(x) dx$

Descomposicion
$\int f(x)dx=\int f_{{1}}(x)dx+\int f_{{2}}(x)dx+\int f_{{3}}(x)dx+...+\int f_{{n}}(x)dx$

Sustitucion ó Cambio de Variables

$\int f(x) \cdot dx$
$u\ x = t$
$u'\ x\ dx = dt$

Partes
$\int u {\cdot} dv= u {\cdot}v - \int v {\cdot}du$

Trigonometricas

del tipo: ó
- n = impar
  
  $cos x = t$
  
  $-sen x = dt$
  
  n = par; debemos tener en cuenta las relaciones trigonometricas
del tipo:
- n = impar ; m = impar :: Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas
- n = par ; m = par :: Se expresa en función del ángulo doble (cos 2x; sen 2x)
del tipo: ó
- $tg^2 x = sec^2 (x)\ -\ 1$
- $cotg^2 x = cosec^2 (x) - 1$
del tipo:
- m = impar :: t = sec x
- n = par :: t = tg x
- m = par, n = impar :: Potencias de la secante
del tipo: ó ó
- Utilizando las fórmulas que transforman productos de senos y cosenos en sumas y diferencias.

Racionales
$\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx$

grado de P(x) Q(x)
- P(x) > Q(x) $\Rightarrow$ Divides
- P(x) = Q(x) $\Rightarrow$ Divides
$\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx=\int C(x) dx+\int \frac{R(x)}{Q(x)}$
grado Q(x) < P(x)}
- Buscamos el Logaritmo Neperiano
grado Q(x) > P(x) [Descomposición en fracciones simples]
- Q(x) tiene raíces reales
  
  $\frac {P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}= \frac{P(x)}{Q(x)}$
- Q(x) tiene raíces reales y raíces imaginarias
  
  $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Mx-N}{(x-b)^2} = \frac{P(x)}{Q(x)}$
- Q(x) no tiene raíces reales :: Buscamos Artg (x) o Arcsen (x)
- Q(x) tiene raíces imaginarias múltiples: Método Hermite-Ostrogradsky
  
  $\int \frac {P(x)}{Q(x)} = \frac {M_1(x)}{Q_1(x)} + \int \frac {M_2(x)}{Q_2(x)}dx$
  
  $\frac {P(x)}{Q(x)} = \frac {d}{dx} \frac {M_1(x)}{Q_1(x)} + \frac {M_2(x)}{Q_2(x)}$

Exponenciales y Logarítmicas racionales

tipo: $\int {R(x,a^x)$

$a^x = t$
tipo: $\int {R(x,e^x)$

$e^x = t$
tipo: $\int {R(x,Ln\ x)$

$Ln\ x = t$

Trigonométricas Racionales

tipo:
- R(sen x, -cos x) $\Rightarrow$ -R (sen x, cos x)
  
  t = sen x
- R(-sen x, cos x) $\Rightarrow$ -R (sen x, cos x)
  
  t = cos x
- R(-sen x, -cos x) $\Rightarrow$ R(sen x, cos x)
  
  t = tg x
tipo: $\int R(x,arctg\ x)$

Arctg x= t
tipo: $\int R(x, arcsen\ x)$

Arcsen x = t
tipo: $\int R(x, arccos\ x)$

Arccos x = t

Teoremas

Teorema de Acotacion
El producto de una funcion acotada por una funcion que tiende a cero
tambien tiende a cero, es decir, f acotada en un intervalo abierto a
y g tal que $\underset{x\rightarrow a}{Lim}g(x)=0$ , entonces $\underset{x\rightarrow a}{Lim}[f(x){\cdot}g(x)]=0$

Si la funcion $f:[a,b]{\rightarrow}R$ es continua en el intervalo
cerrado y acotado [a,b], entonces esta acotada en dicho intervalo.

Teorema de Compresion
Si f, g, h son funciones tales que $g(x)\le f(x)\le h(x)$ para todo 'x' de un intervalo abierto que contiene a 'a', excepto posiblemente el mismo 'a' y si $\underset{x\rightarrow a}{Lim}\ g(x)=\underset{x\rightarrow a}{Lim}\ h(x)=l}$ , entonces $\underset{x\rightarrow a}{Lim}\ f(x)=l$

Bolzano
HIPOTESIS:
$\Rightarrow$ f(x) es continua [a,b]
$\Rightarrow$ Signo f(a) $\neq$ Signo f(b)

TESIS:
$\exists c \in [a,b] / f(c) = 0$

Weirstrass
HIPOTESIS:
$\Rightarrow$ f(x) es continua [a,b]

TESIS:
$\exists\ Max\ y\ min\ absolutos\ \in\ [a,b]$

Rolle
HIPOTESIS:
$\Rightarrow$ f(x) es continua [a,b]
$\Rightarrow$ f(a) = f(b)

TESIS:
$\exists\ c\ \in\ (a,b)\ /\ f'(c)\ =\ 0$

Lagrange
HIPOTESIS:
$\Rightarrow$ f(x) es continua y derivable [a,b]
$\Rightarrow$ f(a) $\neq$ f(b)

TESIS:
$\exists\ c\ \in\ (a,b)\ / f'(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Cauchy
HIPOTESIS:
$\Rightarrow$ f(x) es continua y derivable [a,b]
$\Rightarrow$ g(x) es continua y derivable [a,b]
$\Rightarrow$ g(a) $\neq$ g(b)
$\Rightarrow$ g'(x) $\neq$ 0 para todo 'x' $\in$ (a,b)