Matematicas Financieras

En este documento voy a resumir el libro de la asignatura 'Gestión Financiera' de la UNED.

El libro es 'Valoración Financiera' de Andrés de Pablo López.

Bases para la Valoracion Financiera

Capital Financiero

El profesor Gil Peláez define al capital financiero como la medida de un bien económico referida al momento de su disponibilidad o vencimiento', nosotros definimos al capital financiero como la medida de cualquier activo, real o financiero, expresada por su cuantía y por su vencimiento o momento de disponibilidad.

Cualquier capital puede representarse de la siguiente forma (C;t), donde:

C: Mide la cuantía del capital expresada en unidades monetarias.
t: Momento de disponibilidad del capital o vencimiento. Se suele utilizar el año como unidad de medida del tiempo.

La representación gráfica se efectúa en el sistema de coordenadas cartesianas. El tiempo en el eje de abscisas y la cuantía en el eje de ordenadas.

Desde una perspectiva objetiva, los capitales han de ser de cuantía positiva puesto que todo activo real tiene un valor, mayor o menor, en función de la utilidad que proporciona. Si un activo carece de valor se tiene el capital nulo cuya cuantía es cero (C = 0).

Desde una perspectiva subjetiva, la posición de la persona respecto a un capital, la posición puede ser acreedora, en cuyo caso la cuantía será positiva para ella o deudora, la cuantía será negativa.

Desde la perspectiva objetiva los capitales quedarán representados en el semiplano superior por ser siempre $C \geq 0$ y desde la perspectiva subjetiva, los capitales se representan en todo el plano (C;t).

Al conjunto de todos los capitales financieros se le denomina espacio financiero 'E' y desde la perspectiva objetiva es $C \in \Re$

Leyes Financieras

Los agentes económicos han de disponer de reglas o criterios con los cuales poder comparar capitales, sustituir varios capitales por uno solo que sea equivalente a todos ellos, etc. Las expresiones matemáticas de esos criterios reciben la denominación de leyes de financieras.

Una ley financiera es la expresión matemática que permite obtener las cuantías $V_1$ y $V_2$ referidas al mismo momento 'p' del tiempo.

Se distingue entre leyes de capitalización y de descuento en función de que el punto 'p' de comparación se sitúe a la derecha de los capitales intervinientes (capitalización) o a la izquierda (descuento) anotándose con L(t;p) las leyes de capitalización y con A(t;p) las de descuento.

Las leyes financieras que se utilizan en la práctica; estas se caracterizan por ser estacionarias, es decir, porque únicamente tienen en cuenta el tiempo interno de la operación. Normalmente son funciones lineales respecto de la cuantía, se puede operar con leyes financieras unitarias de manera que una vez obtenida la cuantía equivalente a una unidad monetaria. Una ley unitaria se anota F(t;p).

Son muchas las funciones matemáticas que podemos utilizar como leyes financieras, así que las agrupamos con propiedades comunes:

Leyes Estacionarias: Sólo se tiene en cuenta el tiempo interno de la operación. La ley financiera unitaria puede expresarse en función de esa variable $z: F(z)$ . Esta amplificación hace más sencilla y cómoda la operativa con estas leyes financieras y todas las leyes que se utilizan son estacionarias.
Leyes Sumativas: Intervalo considerado no se acumulan intereses para producir nuevos intereses. La capitalización simple y el descuento comercial se engloban en este tipo.
Leyes Multiplicativas: Se acumulan los intereses. A este grupo pertenencen la capitalización compuesta y el descuento compuesto.

Las leyes han de cumplir la propiedad de subestimación de capitales futuros respecto de los actuales a igualdad de cuantía lo que da lugar a los conceptos de rédito e interés como retribución o precio por diferir la disponibilidad de un capital.

Surgen un conjunto de magnitudes derivadas que facilitan los cálculos y las operaciones con capitales. Las más importantes son el factor, el rédito y el tanto, que estan definidas para un intervalo temporal finito y el tanto instantaneo, que lo está para un instante del tiempo. A partir del redito surgen las magnitudes interés y descuento.

El factor es el número por el que hay que multiplicar a la cuantía situada en un extremo del intervalo para obtener la cuantía equivalente en el otro extremo.

La ley financiera sirve para hallar las cuantías equivalentes en 'p' y el factor las halla en cualquier otro momento del tiempo. Un extremo del intervalo ( $t_1$ ; $t_2$ ) es precisamente el punto 'p' de valoración cuando el factor y la ley organiza coinciden. El factor es una magnitud adimensional.

El rédito es el incremento o disminución por unidad monetaria al pasar de un extremo al otro del intervarlo. En valor absoluto, es igual al factor menos la unidad. Es una magnitud adimensional.
El tanto es el rédito dividido entre la amplitud del intervalo ( $t_1$ ; $t_2$ ). El rédito por unidad de tiempo por lo que mide el incremento o disminución por unidad de cuantía y por unidad de tiempo. Es de dimensión -1 respecto al tiempo. También se le denomina 'tipo de interés'.
El tanto instantaneo es el límite del tanto cuando el intervalo ( $t_1$ ; $t_2$ ) tiende a cero. Mide la variación por unidad de cuantía en cada instante del tiempo. Conocida la función del tanto instantaneo puede obtenerse, por integración entre 't' y 'p', la ley financiera; si se integra entre $t_1$ y $t_2$ se obtiene el factor.
El interés y el descuento son capitales que miden la diferencia entre las cuantías equivalentes $C_1$ y $C_2$ en los extremos del intervalo ( $t_1$ ; $t_2$ ). Se calcula multiplicando la cuantía considerada por el rédito asociado a dicho intervalo.

Capitalizacion Simple

Expresión Matemática
La expresión matemática de la capitalización simple:

$L_1= 1 + i \cdot t$

Este expresión indica que una unidad monetaria desplazada 't' periodos hacia la derecha en el tiempo se transforma en $1+ i \cdot t$ unidades monetarias.

i: Es el tanto. Mide el incremento por unidad de cuantía y unidad de tiempo. Su signo es positivo de acuerdo con el principio de subestimación de capitales futuros y va expresado en tanto por uno, por ser unitaria la ley financiera.
t: Mide el tiempo durante el cual se esta capitalizando la unidad monetaria o la cuantía 'C'. Lo más usual es que 'i' sea el tanto anual y el tiempo se mida en años.

La capitalización simple se utiliza en operaciones a corto plazo, es decir, duraciones menores al año.

Montante e Interés
Montante: Es el capital equivalente en 't' a la cuantía del momento inicial. Sigue esta ecuación:

$M = C \cdot (1 + i \cdot t)$

Interés: Es el incremento que experimenta el capital de cuantía 'C' al colocarlo durante 't' periodos de tiempo. Su cuantía 'I' se calcula:

$I = M - C = C \cdot i \cdot t$

Si la duración se expresa en días (n), teniendo en cuenta que el año tienen 365 días la fórmula cambia.

$M = C \cdot (1 + i \cdot \frac{n}{365})$
$I = C \cdot i \cdot \frac{n}{365}$

El año civil tiene 365 días y el año comercial 360 días

Relación entre el Interés Comercial y el Interés Civil
La relación matemática es:

$\frac{I_{co}}{I_{ci}} = \frac{365}{360}$

Tantos Equivalentes
Para que la equivalencia de capitales se mantenga, el parámetro 'i' debe modificarse en sentido inverso a como lo hace la variable 't'.

Definimos 'i_m' como el rédito correspondiente a una amplitud de tiempo igual a 1/m año, con lo que la relación con el tanto anual equivalente (i) es:

$i_m = \frac{i}{m}$
ó
$i = m \cdot i_m$

Comparacion y Sustitucion de Capitales

Equivalencia de Capitales
Se dice que 2 o más capitales son equivalentes cuando tienen el mismo valor en la fecha en la que se efectúa la comparación.

Cuando la ley financiera es el descuento comercial o el racional, la fecha (p) en la que se efectúa la comparación es el momento presente (p=0) y por ello han de coincidir los valores actuales.

Cuando la ley financiera es la capitalización simple, la comparación se efectúa en la fecha de acumulación de intereses, fecha que suele coincidir con el final del año o del semestre correspondiente.

La ley es de capitalización simple y 'p' es el momento de acumulación de intereses.

$M_1\ =\ C_1 \cdot\ (1\ +\ i\ t_1)$
$M_2\ =\ C_2 \cdot\ (1\ +\ i\ t_2)$

La ley es de capitalización compuesta o el descuento compuesto la equivalencia puede establecerse en cualquier momento del tiempo ya que la equivalencia de capitales no depende del momento de valoración.

Ordenación de Capitales
Dados 2 capitales y una ley financiera de valoración, se preferirá el que tenga mayor valor en la fecha en la que se efectúa la comparación. Si son más de 2 capitales se establecerá el orden de preferencia entre ellos comparando sus 2 valores en la fecha citada

Problemática al comparar capitales con leyes simples
Esta variación en los resultados se produce cuando se opera con leyes financieras simples, ya que los factores financieros que se utilizan para obtener las cuantías equivalentes se modifican al variar 'p' lo cual no ocurre cuando se opera con leyes financieras compuestas.

$C_1 = C_2 \cdot \frac{1-d(t_2-p)}{1-d(t_1-p)}$

En resumen, cuando se comparan capitales con leyes financieras simples se ha de precisar, ademas de la ley financiera, la fecha en que se efectúa la comparación. Estas fechas en la práctica suele ser:

El momento actual, en que se toma la decisión, cuando la ley es de descuento.
La fecha de acumulación de intereses, cuando la ley es de capitalización simple, que suele coincidir con el final de año o de semestre.

Suma de Capitales
En la práctica surge también la necesidad de sustituir varios capitales por otro, único, en condiciones de equivalencia financiera.

La fecha 't', en la que se efectúa la suma, se denomina vencimiento común.

Un caso particular, de frecuente aplicación en la práctica, consiste en exigir que $C = C_1 + C_2$ . En este caso la incógnita 't' recibe la denominación de vencimiento medio.

$t=\frac{C_1 \cdot t_1 + C_2 \cdot t_2}{C_1 + C_2}$

El vencimiento medio 't' es la media ponderada de los vencimientos $t_1$ y $t_2$ tomando como pesos de ponderación las cuantías $C_1$ y $C_2$ . Si la ley es de capitalización simple se obtiene la misma solución para 't'.

En resumen, en capitalización simple y en descuento comercial, el vencimiento medio no depende, ni del momento 'p' en que se efectúa la valoración, ni del tanto 'i' o 'd'; solo depende de los capitales sumandos. Es una solución que se aplica frecuentemente en la práctica.

$(1+i)^{-t} = \frac{C_1 \cdot (1+i)^{-t_1} + C_2 \cdot (1+i)^{-t_2}}{C_1 \cdot C_2}$

Desdoblamiento de Capitales
El desdoblamiento de capitales es la operación opuesta a la suma, ya que el dato es el capital suma y se trata de descomponerlo en varios capitales sumandos. El deudor ha de efectuar un pago importante en cierto momento 't' y desea sustituirlo por varios pagos de menor cuantía en distintos momentos.

$C_1=\frac{C(t_2-t)}{t_2-t_1}$
$C_2=\frac{C(t-t_1)}{t_2-t_1}$

Un caso particular del desdoblamiento de capitales es la denominada prórroga de vencimiento. El capital suma (C;t) se desdobla en 2 de manera que una parte $C_1$ se paga antes y hay que determinar en que momento $t_2$ se pagará el resto.

Operaciones Financieras

Clasificacion

La clasificación de las operaciones financieras puede efectuarse desde distintas perspectivas..

Por su duración
- Operaciones a Corto Plazo, cuando su duración es menor o igual que un año
- Operaciones a Largo Plazo, cuando su duración es mayor que un año
Por la ley financiera que utilizan
- Operaciones de Capitalización, cuando se aplica una ley de este tipo
- Operaciones de Descuento, cuando se aplica una ley de este tipo
Por el número de capitales que intervienen
- Operaciones simples, cuando sólo se entrega un capital por cada parte
- Operaciones compuestas, cuando se entregan más de un capital por alguna de las partes
Por el objetivo que pretende cada parte:
- Operaciones de financiación, cuando se reciben los capitales y posteriormente se devuelven
- Operaciones de inversión, cuando se desembolsan los capitales y despues se recuperan.
  - Inversiones reales, cuando se adquieren activos reales
  - Inversiones financieras, cuando se adquieren activos financieros
- Operaciones mixtas, cuando durante parte de la operación se tiene posición deudora y durante el resto se tiene posición acreedora
Por la situación crediticia de las partes
- Crédito unilateral, cuando la prestación mantiene su posición acreedora a lo largo de toda la duración
- Crédito reciproco, cuando la contraprestación pasa a ser acreedora en algún momento del transcurso de la operación
Por el sujeto que interviene en la operación
- Operaciones bancarias, cuando uno de los sujetos es una entidad bancaria. Estas operaciones son frecuentes porque los bancos son intermediarios financieros. Desde la perspectiva de los bancos pueden ser
  - Operaciones pasivas, cuando aparece en el pasivo del balance de los bancos
  - Operaciones activas, cuando aparecen en el activo del balance de los bancos
  - Operaciones de mediación o servicios que prestan los bancos a sus clientes
- Operaciones no bancarias, cuando ninguna de las partes de la operación es un banco.

Concepto

Las operaciones financieras se caracterizan porque en ellas se realizan intercambios no simultaneos de capitales financieros entre las partes intervinientes de manera que sus compromisos sean equivalentes

De aquí dependen varias cuestiones:

La no simultaneidad de los intercambios implica que en toda la operación financiera ha de existir cierta temporalidad o duración.
La existencia de 2 personas que acuerdan realizar la operación
La existencia de dos compromisos de entrega de capitales por parte de las personas intervinientes. El compromiso que adquiere la persona que entrega el primer capital se denomina prestación, y el que adquiere la otra persona es la contraprestación.
La componente objetiva de la operación la constituyen los capitales que han de entregar las partes.
El cumplimiento de un principio básico en la valoración financiera: los compromisos de las partes han de ser financieramente equivalentes.

En toda operación financiera se distingue:

Origen: Es el momento en que se entrega el primer capital
Final: El el momento en que se entrega el último capital
Duracion: Es el tiempo que transcurre entre el Origen y el Final

Cuentas Corrientes

Cuentas Corrientes a Interes No Reciproco

El metodo más usual y apropiado es el hamburgués ya que opera con los saldos de la cuenta. La suma de los números deudores permite obtener los intereses a favor del propietario de la cuenta y la suma de los números acreedores, los intereses a favor del titular de la cuenta.

Cuentas Corrientes Bancarias

Las cuentas corrientes bancarias son aquellas en que una de las partes es un banco o entidad de crédito. Pueden ser:

Cuentas corrientes a la vista. (operaciones de pasivo para los bancos)
Cuentas corrientes de crédito. (operaciones de activo para los bancos)

En ambos casos las cuentas son a tipo de interés no recíproco, el método hamburgués para saldarlas periódicamente.

Estas cuentas se formalizan mediante un contrato cuya característica distintiva consiste en que se trata de un depósito irregular de dinero por el cual el banco abona intereses al cliente si bien a tantos muy bajos dado que el cliente puede disponer en cualquier momento del saldo acreedor a su favor. Si el saldo pasa a ser deudor el tipo de interés es mucho más elevado.

Estas se saldan con una periodicidad semestral o anual. Se le entrega un talonario de cheques con los que puede efectuar pagos sin necesidad de acudir a la oficina bancaria. La denominación de cuentas a la vista indica que no es necesario ningún plazo de preaviso para disponer de fondos.

Los intereses acreedores tributan por el Impuesto sobre la Renta de las Personas Físicas (IRPF) o por el Impuesto de Sociedades (IS), efectuandose una retención a cuenta de dichos impuestos, en el momento de su percepción. Esta retencién es un porcentaje de la cuantia de los intereses de acuerdo con la normativa fiscal vigente en cada momento.

Información del banco al cuentacorrientista
La documentación que las entidades de crédito han de facilitar a sus clientes que contendrá, al menos, los siguientes datos.

Periodo al que se refiere al bono con indicación de fecha inicial y final.
Tipo de interes contractual aplicado.
Suma de los números comerciales o saldo medio por valoración del periodo.
Importe de los intereses que resultan.
Impuestos retenidos, con expresión del tipo y base de cálculo

En caso de que se modifique el tipo de interes en el periodo de liquidación se indicarán por separado los números comerciales y/o intereses que correspondan a cada uno de los tipos aplicados.

Operaciones de Financiacion a Corto Plazo

Rentas. Rentas Constantes

Introduccion

Una renta está formada por un conjunto de capitales de manera que cada uno de ellos corresponde a un intervalo temporal o periodo de maduración. Toda renta tiene una causa o motivo que da derecho a percibirla; es lo que se denomina fuente de la renta.

A los capitales se les denomina también términos de la renta. El origen de la renta es el momento $t_0$ , inicio del primer periodo de maduración, y el final de la renta es $t_f$ , donde se concluye el último periodo de maduración. La duración de la renta es el tiempo que media entre el origen y el final de esta.

Una renta puede estar formada por infinitos capitales asociados cada uno de ellos a periodos de maduración finitos, siendo la duración de la renta infinita. Puede haber rentas formadas por un flujo continuo de capitales con periodos de maduración infinitesimales.

Las rentas tienen una larga duración, en consecuencia, se valoran con la ley de capitalización compuesta. Los casos en que su duración no base el año se suelen valorar con la capitalización simple o el descuento comercial.

El valor capital o valor financiero de una renta en un determinado momento 'a' es un capital cuya cuantía es la suma financiera de los términos de la renta. En el caso de que $'a' = t_0$ (origen de la renta) el valor capital se denomina valor actual, y si $'a'=t_n$ (final de la renta), valor final. Estos 2 casos son los momentos que más se valoran las rentas.

2 rentas son equivalentes cuando se obtiene el mismo valor capital cualquiera que sea el momento de valoración, cumpliendo algunas propiedades:

El valor capital es linealmente proporcional a las cuantias
- Si $C_S= k \cdot C'_s$
- Si $C_S= C'_S + C''_S \Rightarrow V_\alpha = V'_\alpha + v''_\alpha$
La propiedad aditiva respecto al tiempo, el valor capital de una renta se puede obtener como suma de los valores capitales de los tramos que convenga descomponer el intervalo total.
Sustitución de una renta por otra equivalente con menor número de términos: Esto se aplica cuando los términos tienen unos periodos de maduración de amplitud menor que el año y se desea operar con rentas de periodicidad anual. Este es el caso de las rentas fraccionadas.

Clasificacion de las Rentas

Las rentas se pueden agrupar en subconjuntos que tengan alguna característica común; ello facilitará también su estudio y valoración de una forma ordenada y sistemática. Las más interesantes desde esta perspectiva son:

Por las cuantías de los capitales
- Rentas constantes
- Rentas variables
Por la duración
- Rentas temporales
- Rentas perpétuas
Por la amplitud de los periodos de maduración
- Rentas discretas; [Periódicas o no]
- Rentas continuas
Por el momento en que vencen los términos de la renta
- Rentas pospagables (postpagables): los capitales vencen al final de cada periodo de maduración
- Rentas prepagables: los capitales vencen al principio de cada periodo de maduración
Por el momento de valoración
- Rentas inmediatas: el periodo de maduración esta situado dentro del intervalo
- Rentas diferidas: la renta se valora antes del origen
- Rentas anticipadas: la renta se valora después del final
Por la aleatoriedad
- Rentas ciertas
- Rentas aleatorias

Rentas Variables

Prestamos I

Prestamos II

Emprestitos que se Amortizan por Sorteo

Otras Modalidades de Emprestitos

Constitucion de Capitales

Operaciones Bursatiles y Seleccion de Carteras

Introduccion

Se denominan operaciones bursátiles a las que se realizan en las Bolsas de Valores. Constituyen el principal mercado secundario y en el se negocian los valores mobiliarios que determine la Comisión Nacional del Mercado de Valores (CNMV)

En los mercados de valores se distingue:

Mercado Primario o de emisión, se ponen en circulación las emisiones de acciones, obligaciones y Deuda Pública
Mercado Secundario, se negocian los valores que ya están en circulación

En España los mercados secundarios oficiales son:

Bolsas de Valores
Mercado de Deuda Pública Anotada
Mercados de Futuros y Opciones
Mercado AIAF de Renta Fija

La supervisión e inspección de los mercados de valores así como de la actividad que realizan las personas que operan en estos mercados corresponde a la Comisión Nacional del Mercado de Valores, salvo el mercado de Deuda Pública Anotada que es supervisado directamente por el Banco de España.

La liquidación y compensación de los valores que se negocian en bolsa lo realiza el Servicio de Compensación y Liquidación de Valores (SCLV). Los sistemas de liquidación y compensación del SCLV y la Central de Anotaciones del Banco de España se van a unificar tras la fusión de ambas entidades.

La tendencia globalizadora de los mercados financieros internacionales también se observa en los mercados españoles.

Las Bolsas de Valores

Introducción
Es el mercado en el que se negocian en exclusiva acciones, derechos de suscripcion y valores convertibles. También se contrata la renta fija tanto deuda pública como privada.

En España existen 4 Bolsas de Valores, Madrid, Barcelona, Bilbao, Valencia. Cada una de ellas tiene un Sociedad Rectora, sociedad anónima cuyos accionistas son las sociedades y Agencias de Valores y Bolsa (SVB y AVB)

Las SVB y AVB son intermediarios financieros que ejecutan las operaciones bursátiles. La diferencia principal entre una Sociedad y una Agencia está en que las primeras pueden realizar operaciones, tanto por cuenta propia como por cuenta ajena y las segundas únicamente por cuenta ajena. Las primeras han de tener unos recursos propios mínimos mayores que las segundas.

Sistema de Contratación Bursátil
Existen 2 sistemas de contratación:

Por corros, a viva voz. Actualmente tiene escasa importancia tanto por el número y clase de títulos con los que se opera como por el poco volumen de negocio.
Mercado Continuo, que utiliza el sistema electrónico SIBE (Sistema de Interconexión Bursátil Español). La contratación se realiza de forma continua los días hábiles de lunes a viernes, de 9 a 17,30 horas. Las 4 Bolsas estan interconectadas por lo que el precio es único para cada valor.
Dentro del mercador continuo, la contratación de las acciones que tienen poca liquidez se efectúa en la modalidad fixing, consistente en agrupar todas las órdenes de compra y venta en 2 momentos de la sección para conseguir una formación más eficiente de los precios.

Operativa Bursátil
El precio de las acciones se indica por unidad el precio que hay que pagar por compra o la venta de un título.

El precio de las obligaciones se expresa en porcentaje el precio que se ha de pagar por 100 EUR nominales. No tiene en cuenta el cupón corrido desde la fecha en que se pagó el último cupón algunas emisiones cotizan precio que incluye el cupón corrido.

El inversor que desea comprar o vender títulos da la orden correspondiente a su Sociedad o Agencia de Valores y Bolsa.
La orden ha de precisar:

Clase de orden; de compra o de venta
Denominación del valor
Número de titulos
Condiciones en cuanto a precio, forma de ejecución y plazo

Las condiciones en cuanto al precio se establecen de la siguiente manera:

Orden de mercado: No establece ningún límite por lo que se ejecutarán al precio vigente al introducir la orden en el mercado.
Limitada: Se establece un límite que es el precio máximo en el caso de compra y el precio mínimo en el caso de venta
On Stop: Esta orden la utilizan los inversores que aplican el análisis técnico o chartista. Se compra en el caso en que el precio real sea un límite fijado previamente y se vende si el precio baja del limite establecido. Opera en sentido contrario a las ordenes limitadas

Las condiciones en cuanto a la ejecución de la orden pueden ser:

Ejecutar o anular: El volumen de la orden que no se ejecuta en el momento de ser introducida en el mercado, es rechazada.
Ejecución mínima: En este caso hay una condición inicial, si en el momento de la introducción de la propuesta no se negocia un volumen fijado como mínimo, la propuesta completa es rechazada
Mantenidas: Son órdenes que, en la parte no ejecutada al máximo de variación permitida para la sesión, se mantienen para la siguiente sesión a un precio que no exceda el máximo permitido para esa siguiente sesión
Con Volumen Oculto: se le puede asignar a una orden un volumen que el resto del mercado no puede ver y que irá saltando al mercado a medida que la parte visible de la propuesta se vaya negociando

Las condiciones en cuanto al plazo de vigencia de la orden son:

Orden Día: Se ha de ejecutar en la sesión bursátil de ese día, si no se anula
Hasta una fecha determinada:
Hasta 90 dias.

Las operaciones bursátiles pueden clasificarse en:

Operaciones al contado
Operaciones con crédito al mercado
Operaciones a plazo